Historique

Brève histoire des fractales

Les Mathématiques, reflet de notre pensée et l'un des Langages de l'Univers

Les Mathématiques se sont révélées, au cours des siècles, être un langage puissant et suffisamment objectif pour décrire l'Univers indépendamment de l'observateur, et nous permettre d'imaginer l'infini.
Mais ainsi, que le déclarait Heinrich Hertz au dix-neuvième siècle : on ne peut échapper au sentiment que ces formules mathématiques ont une existence qui leur est propre, qu'elles sont plus savantes que ceux qui les ont découvertes, et que nous pouvons en extraire plus de science qu'il n'en a été mis à l'origine

Les fractales sont des constructions mathématiques qui ne rentrent pas dans la géométrie euclidienne normale, et pendant de longues années les mathématiciens les ont considérées comme des «monstres» à éviter.

A la fin du dix-neuvième siècle, des mathématiciens (Weierstrass -peut-être le pionnier-, Cantor, Peano, Lebesgue, Hausdorff, Besicovitch, von Koch, Sierpinski,...) s'intéressèrent un temps à ces "monstres", et par exemple, à des courbes continues mais non différentiables, dont la longueur était infinie bien que leur domaine soit limité ; certaines réussissaient même à remplir fort bien des espaces de dimensions supérieures.

- Basé sur la courbe de von Koch

Gaston Julia (1893-1978), mathématicien français publie en 1918 un travail sur l'itération des fractions rationnelles (obtenus simultanément par Pierre Fatou).

- Ensemble de Julia

Puis ces monstres restèrent assoupis quelques dizaines années.
Ils ont été remis en lumière dans les années 1970 par un mathématicien français d'origine polonaise, Benoît Mandelbrot (inventeur du mot fractal et "père" de l'ensemble dit de Mandelbrot ), aidés par les progrès étonnants des technologies informatiques, les réveille.
Les ensembles de Julia et de Mandelbrot sont étroitement associés.
C'était, dans les années soixante/soixante-dix, la [re-]naissance des fractales.

- Ensemble de Mandelbrot

Toutes les fractales ont deux propriétés principales : l'auto-similarité et l'échelle indépendante.
Auto- similarité est l'idée que comme un objet est amplifié la forme originale de l'ensemble est répété maintes et maintes fois .
L'auto-similarité du triangle de Sierpinski est évidente par la répétition de la forme dans le triangle d'origine.
L'échelle indépendante est l'idée que en zoomant sur une fractale on ne peut pas déterminer si elles font partie de la plus petite ou de plus grande de la forme, puisque la forme est répétée.

- Basé sur le triangle de Sierpinski

La question se pose de savoir pourquoi tant d'objets naturels sont fractals.
Après l'examen de nombreux d'exemples, on peut considérer qu'une structure fractale semble être la réponse à un problème d'optimisation : une surface énorme à l'intérieur du volume réduit.

- Exemple du choux Romanesco

La géométrie fractale a rapidement conquis ses galons d'outil mathématique fondamental en réussissant à réunir alors des domaines jusqu'alors disjoints.
Les cours de la bourse et le mouvement brownien, le chaos déterministe , les feux de forêts et les fronts de diffusion , les agrégats , les systèmes de pagination mémoire,... autant de domaines de recherche où elle s'est imposée et d'où la "fractalité" émerge spontanément.
Des structures fractales sont ainsi repérées des plus petites aux plus grandes échelles et certains vont même jusqu'à attribuer à l'espace-temps une structure fractale, le rendant ainsi continu et non différentiable.

Il convient de noter que la simplicité conceptuelle des algorithmes, notament de ceux qui permettent de calculer les ensembles de Julia et de Mandelbrot) est pratiquement en opposition avec l'infinie richesse visuelle des structures obtenues.
Ainsi, la géométrie fractale est l'occasion de [re-]découvrir que du simple peut naître le complexe...

La géométrie fractale est connue du public par les images qu'elle permet donc de produire et qui font dire bien souvent qu'elle est un pont entre l'Art et la Science.
S'il est vrai qu'elle a introduit des formes nouvelles, le créateur reste le maître et l'initiateur de la composition.
On peut aussi considérer que l'œuvre ne doit plus être vue dans le résultat (une image par exemple), mais dans le programme qui lui a donné naissance, introduisant ainsi le concept "borgésien" d'œuvre potentielle (c'est-à-dire contenant en elle -et de façon presque utopique- une infinité d'œuvres du même type, prêtes à émerger du néant).

Pour ma part et n'étant pas un cador en mathématiques, je me suis limité à l'image qui, par sa beauté imprévisible reflète un monde insolite.

- Une fractale...

J'espère que je pourrai par ces images vous faire partager l'extraordinaire variété et profondeur de ces créations.